Razones de cambio relacionadas

Razón de Cambio Relacionadas en las Derivadas

¿Qué es?

Los problemas de razones de cambio consisten en calcular cómo variará con respecto al tiempo una determinada magnitud, conocida la variación de otra magnitud relacionada con ella y el valor de esas magnitudes en un determinado instante.

Si una cantidad x está en función del tiempo t, la razón de cambio de x con respecto a t está dada por  dx/dt. Si dos o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación.

Pasos para resolver problemas de razón de cambio:

·         Se traza un dibujo que contemple todas las variables y constantes que intervengan en el problema.

·         Se elabora un modelo matemático que relacione las variables.

·         Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos dados.

Ejemplos:

Un náufrago es remolcado hacia un barco con un cable. La proa de donde se jala el cable se encuentra a 7 metros del nivel del mar y el cable es jalado a razón de 12 m/min. ¿Con que rapidez se está moviendo el náufrago hacia el barco cuando se encuentra a 20 metros de la base del barco?

SOLUCIÓN:

DATOS:

El cable es jalado a razón de 12m/min, entonces 

Donde:

P: proa

N: naufrago

B: barco

x= 20m, y=7m

Se debe buscar con que rapidez se acerca el náufrago al barco .

La figura se expresa un triangulo rectángulo, por tanto, se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la relación.

     z²=x²+y²

      z=21,2m

ahora se deriva la expresión respecto al tiempo:

     z²=x²+y²

     z²=x²+(7)²

    2(z)(dz/dt)=2(x)(dx/dt)+0

Ejemplo 2:

Se está vaciando un depósito cónico de 1.5m de radio y 5 m de altura, a razón de 0,16 m3/min. ¿Cómo está bajando el nivel cuando la profundidad del agua es de 2m?

 

h= 5 metros 

 r= 1.5 metros

Datos:

El volumen del cono es 

 

Reemplazamos el radio:

Entones se deriva el volumen respecto al tiempo: